Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.
Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.
В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.
Основные величины тригонометрии
Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.
В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.
Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:
Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:
Тригонометрический круг
Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:
Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.
Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.
Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.
Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.
Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:
Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.
Свойства тригонометрических функций: синус и косинус
Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.
Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:
| Синусоида | Косинусоида |
|---|---|
| y = sin x | y = cos x |
| ОДЗ [-1; 1] | ОДЗ [-1; 1] |
| sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z | cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z |
| sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z | cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z |
| sin x = - 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z | cos x = - 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, т. е. функция нечетная | cos (-x) = cos x, т. е. функция четная |
| функция периодическая, наименьший период - 2π | |
| sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk] |
| убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | убывает на промежутках |
| производная (sin x)’ = cos x | производная (cos x)’ = - sin x |
Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.
Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:
Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.
Свойства тангенсоиды и котангенсоиды
Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.
- Y = tg x.
- Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
- Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
- Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
- Tg x = 0, при x = πk.
- Функция является возрастающей.
- Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Производная (tg x)’ = 1/cos 2 x .
Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.
Основные свойства котангенсоиды:
- Y = ctg x.
- В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
- Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
- Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
- Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
- Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
- Функция является убывающей.
- Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 x Исправить
Но не стоит забывать, что чем меньше максимальный угол поворота, тем меньше радиус поворота автомобиля. Т.е. развернутся в ограниченном пространстве будет очень тяжело. Вот и приходится производителям искать некую "золотую середину", маневрируя между большим радиусом поворота и точность управления.
Изменение значений углов установки колес и их регулировка
Карта Пири Рейса была сопоставлена с современной проекцией карты. Таким образом, он пришел к выводу, что таинственная карта захватывает мир, как это видно со спутника, парящего высоко над Каиром. Другими словами - над Великой пирамидой. Удивительно, что египтологи постоянно защищают эти пространства, хотя недавно был проведен обзор одного недавно открытого коридора, который еще не принес каких-либо прорывов.
Стоит также отметить, что в пирамиде обнаружены необычные психотронные эффекты, которые, среди прочего, могут повлиять на здоровье человека. Речь идет о пространственной психотронике, создающей как энергетические, так и геомагнитные «аномальные зоны», которые далее исследуются.
Плечо обката - кратчайшее расстояние между серединой покрышки и осью поворота колеса. Если ось вращения колеса и середина колеса совпадает, то значение считается нулевым. При отрицательном значении - ось вращения будет смещаться наружу колеса, а при положительном значении - внутрь.При повороте колеса, покрышка деформируется под действием боковых сил. И чтобы сохранить максимальное пятно контакта с дорогой, колесо автомобиля тоже наклоняется в сторону поворота. Но везде нужно знать меру, ведь при очень большом кастере, колесо автомобиля будет сильно наклоняться, и утратит тогда сцепление с дорогой.
Отвечает за весовую стабилизацию управляемых колес.
Суть в том, что в момент отклонения колеса от "нейтрали" передок начинает подниматься. А так как весит он немало, то при отпускании руля под действием силы тяжести система стремится занять исходное положение, соответствующее движению по прямой. Правда, чтобы эта стабилизация работала, нужно сохранить (хоть и небольшое, но нежелательное) положительное плечо обката.Изначально, поперечный угол наклона оси поворота был применен инженерами для устранения недостатков подвески автомобиля. Он избавлял от таких "недугов" автомобиля как положительный развал колес и положительное плечо обката.
Во время археологических раскопок также найдены странные предложения погребальных в виде птиц с распростертыми крылами. Позже аэродинамические исследования эти субъекты показали, что наиболее вероятно, являются древними моделями планеров. Одна из них была обнаружена надпись «подарок Амона.» Бог Амон в Египте поклонялись как бог ветер так ассоциируется с полетом очевидна.
Но как члены этой древней цивилизации пришли к этому знанию без предварительной стадии разработки? Ответ в этом случае только. Это знание пришло от правительств тех времен, которые египтяне называли свои бог. Вполне возможно, для членов технологически развитой цивилизации, которая имеет более чем 000 лет назад, исчезли без следа.
Во многих автомобилях применяется подвеска типа "Мак-Ферсон" . Она дает возможность получить отрицательное или нулевое плечо обката. Ведь ось поворота колеса состоит из опоры одного единственного рычага, которой легко можно поместить внутрь колеса. Но и эта подвеска не совершенна, ведь из-за его конструкции сделать угол наклона оси поворота маленьким практически невозможно. В повороте он наклоняет внешнее колесо под невыгодным углом (как у положительного развала), а внутреннее колесо одновременно наклоняется в противоположную сторону.
Но такие объекты все еще не хватает. Они распадаются, они могут быть уничтожены, но он также может быть хорошо спрятаны в храмах, пирамидах и других знаковых зданий, которые могут лежать неподвижно, должным образом обеспеченных против «охотников за сокровищами».
Великая пирамида в размер и дизайн точности никогда не было равных. Пирамида весит примерно шесть миллионов тонн. В своей позиции, как Эйфелева башня Великая пирамида была самым высоким зданием в мире. Для его строительства было использовано более двух миллионов камней. Ни один камень не весит меньше тонны.
В результате пятно контакта у внешнего колеса сильно уменьшается. А так как на внешнее колесо в повороте приходится основная нагрузка, вся ось сильно теряет в сцеплении. Это, конечно, можно частично компенсировать кастером и развалом. Тогда сцепление внешнего колеса будет хорошим, а у внутреннего - практически исчезнет.
Схождение колес автомобиля
Существует два вида схождения автомобиля: положительное и отрицательное.
Определить тип схождения очень просто: нужно провести две прямые линии вдоль колес автомобиля. Если эти линии пересекутся спереди автомобиля, то схождение положительное, а если сзади - отрицательное. Если будет положительное схождение передних колес, то автомобиль будет легче заходить в поворот, а также приобретет дополнительную поворачиваемость.На задней оси при положительном схождении колес, автомобиль при прямолинейном движении будет более устойчивым, а если будет отрицательное схождение - то автомобиль будет вести себя неадекватно, и рыскать из стороны в сторону.
И некоторые из более чем семидесяти тонн. Внутри камеры соединены коридорами. Сегодня, грубая каменная пирамида, но как только он был обработан до зеркального блеска кладки. Считается, что пик Великой пирамиды был украшен чистым золотом. Солнечные лучи слепили сотни километров. В течение многих столетий, эксперты предположили, о цели пирамид. Традиционная теория утверждает, что пирамиды были символическим воротами в загробный мир. Другие считают, что пирамида была астрономической обсерватории. Кто-то говорит, что помощь в географическом измерении.
Но следует помнить, что чрезмерное отклонение схождения автомобиля от нулевого значения увеличит сопротивление качению при прямолинейном движении, в поворотах это будет заметно в меньшей степени.
Развал колес
Развал колес, как и схождение, может быть как отрицательным, так и положительным.Если смотреть спереди автомобиля, и колеса будут наклоняться вовнутрь, то это отрицательный развал, а если будут отклоняться наружу автомобиля - то это уже положительный развал. Развал колеса необходим для сохранения сцепления колеса с дорожным полотном.
Одна причудливая теория утверждает, что Великая пирамида была на зернохранилищах. Тем не менее, эксперты сегодня в целом согласны, что пирамиды были гораздо больше, чем просто гигантская могила. Ученые утверждают, что массивная технология пирамида не может быть доступна для людей в этот момент истории человечества, когда были построены эти здания. Например, высота пирамиды соответствует расстоянию от Земли до Солнца. Пирамида была точно ориентирована на четыре мира с точностью, которая никогда не достигалась.
И что удивительно, Великая Пирамида лежит в точном центре земли. Тот, кто построил Великую пирамиду, мог точно определить широту и долготу. Это удивительно, потому что технология определения долготы была открыта в наше время в шестнадцатом веке. Пирамиды были построены в точном центре Земли. Также высоту пирамиды - видно с огромной высоты, можно увидеть с Луны. Более того, форма пирамиды является одной из лучших для отражения радаров. Эти причины заставляют некоторых исследователей полагать, что египетские пирамиды были построены за пределами их других целей и для навигации потенциальными иностранными исследователями.
Изменение угла развала колес сказывается на поведении автомобиля на прямой, ведь колеса стоят не перпендикулярно дороге, а значит имеют не максимальное сцепление. Но это сказывается только на заднеприводных автомобилях при трогании с места с пробуксовкой.
› Все о углах установки колес часть 1.Для тех, кто хочет понять, что означают Углы Установки Колес (Развал/Схождение) и досконально разобраться в вопросе, в этой статье есть ответы на все вопросы.
Пирамида Хеопса расположена чуть более чем в восьми километрах к западу от Каира. Он построен на искусственно созданной квартире площадью 1, 6 квадратных километра. Его основание простирается до 900 квадратных метров и почти миллиметровое в горизонтальном положении. Два и три четверти миллиона каменных блоков были использованы для строительства, причем самый тяжелый вес весом до 70 тонн. Они вписываются так, что этот факт является загадкой. Тем не менее, техническая сторона создания пирамиды остается загадкой, так как это будет серьезной проблемой для современных передовых технологий.
Экскурс в историю показывает, что мудреная установка колес применялась на различных средствах передвижения задолго до появления автомобиля. Вот несколько более или менее хорошо известных примеров.
Не секрет, что колеса некоторых карет и прочих колясок на конной тяге, предназначенных для «динамичной» езды, устанавливали с большим, хорошо заметным глазу положительным развалом . Делалось это для того, чтобы грязь, летевшая с колес, не попадала в экипаж и на важных седоков, а разбрасывалась по сторонам.У утилитарных повозок для неспешного передвижения все было с точностью до наоборот. Так, дореволюционные руководства о том, как построить хорошую телегу, рекомендовали ставить коле- са с отрицательным развалом . В этом случае при потере нагеля, стопорящего колесо, оно не сразу соскакивало с оси. У возницы было время, чтобы заметить повреждение «ходовой», чреватой особенно большими неприятностями при наличии в телеге нескольких десятков пудов муки и отсутствии домкрата. В конструкции орудийных лафетов (опять-таки наоборот) иногда применялся положительный развал колес. Понятно, что не с целью уберечь пушку от грязи. Так прислуге было удобно накатывать орудие за колеса руками сбоку, не опасаясь отдавить ноги. А вот у арбы ее огромные колеса, которые помогали запросто перебираться через арыки, были наклонены в другую сторону - к повозке. Достигавшееся при этом увеличение колеи способствовало повышению устойчивости среднеазиатского «мобиля», отличавшегося высоким расположением центра тяжести. Какое отношение эти исторические факты имеют к установке колес современных автомобилей ? Да, в общем, ни какого. Тем не менее, они позволяют сделать полезный вывод. Видно, что установка колес (в частности, их развал) не подчинена какой-либо единой закономерности.
Поэтому нет никаких гипотез о том, что магические силы использовались при построении пирамиды - магические формулы, написанные на папирусе, позволяли перемещать тяжелые куски камня и с удивительной точностью ставить их друг на друга. Эдгар Кейси сказал, что эти пирамиды были построены десять тысяч лет назад, а другие полагают, что пирамиды построены жителями Атлантиды, которые до катаклизма, уничтожившего их континент, в основном искали убежище в Египте. Он создает научные центры, они также создали пирамидальное убежище, где можно было бы скрыть большие тайны.
При выборе этого параметра «производитель» в каждом конкретном случае руководствовался разными соображениями, которые он считал приоритетными. Итак, к чему стремятся конструкторы автомобильных подвесок при выборе УУК? Конечно, к идеалу. Идеалом для автомобиля, который движется прямолинейно, считается такое положение колес, когда плоскости их вращения (плоскости качения) перпендикулярны поверхности дороги, параллельны друг другу, оси симметрии кузова и совпадают с траекторией движения. В этом случае потери мощности на трение и износ протектора шин минимальны, а сцепление колес с дорогой, наоборот, максимально. Естественно, возникает вопрос: что же заставляет преднамеренно отклоняться от идеала? Забегая вперед, можно привести несколько соображений. Во-первых, мы судим об углах установки колес на основании статической картины, когда автомобиль неподвижен. Кто сказал, что в движении, при ускорении, торможении и маневрировании автомобиля она не меняется? Во-вторых, сокращение потерь и продление срока службы шин не всегда является приоритетной задачей. Прежде чем рассказывать о том, какие факторы принимают в расчет разработчики подвесок, условимся, что из большого числа параметров, описывающих геометрию подвески автомобиля, мы ограничимся лишь теми, что входят в группу первичных (primary) или основных. Они называются так потому, что определяют настройку и свойства подвески, всегда контролируются при ее диагностике и регулируются, если таковая возможность предусмотрена. Это хорошо известные схождение, развал и углы наклона оси поворота управляемых колес. При рассмотрении этих важнейших параметров нам придется вспомнить и о других характеристиках подвески.
Пирамида состоит из 203 слоев каменных блоков весом от 2, 5 до 15 тонн. Некоторые блоки на дне пирамиды у основания весит до 50 тонн. Первоначально вся пирамида была покрыта мелкой белой и полированной известняковой оболочкой, но камень использовался для строительства, Особенно после частых землетрясений в этом районе.
Вес пирамиды пропорционален весу Земли 1: 10. Пирамида - это максимум 280 египетских локтей, а площадь основания - 440 египетских локтей. Если базовая схема разделена двойной высотой пирамиды, мы получим номер Людольфа - 3. Отклонение от фигуры Людольфа составляет всего 0, 05%. Основание основания равно окружности круга с радиусом, равным высоте пирамиды.
Схождение (TOE) характеризует ориентацию колес относительно продольной оси автомобиля. Положение каждого колеса может быть определено отдельно от других, и тогда говорят об индивидуальном схождении. Оно представляет собой угол между плоскостью вращения колеса и осью автомобиля при его наблюдении сверху. Суммарное схождение (или просто схождение) колес одной оси. как и следует из названия, представляет собой сумму индивидуальных углов. Если плоскости вращения колес пересекаются впереди автомобиля, схождение положительное (toe-in), если сзади - отрицательное (toe-out). В последнем случае можно говорить о расхождении колес.
В регулировочных данных иногда схождение приводится не только в виде угловой, но и линейной величины. Это связано с тем. что о схождении колес также судят по разности расстояний между закраинами ободьев, замеренных на уровне их центров сзади и спереди оси.
Какой бы ни была истина, может быть, археологи, конечно, признать мастерство древних строителей, к примеру. Флиндерс Питри пришел к выводу, что ошибки в измерении были настолько малы, что он обложен палец. Стены, соединяющие коридоры, падающие 107 м в центр пирамиды, показали отклонение всего 0, 5 см от идеальной точности. Мы можем объяснить тайну пирамиды фараона педантизм архитекторов и строителей или неизвестной египетской магии или простой необходимости соблюдения размеров настолько близко, насколько это возможно, чтобы достичь максимальной выгоды пирамиды?
В различных источниках, в том числе и серьезной технической литературе, часто приводится версия о том, что схождение колес необходимо для компенсации побочного действия развала. Мол, из-за деформации шины в пятне контакта «разваленное» колесо можно представить как основание конуса. Если колеса установлены с положительным углом развала (почему - пока неважно), они стремятся «раскатиться» в разные стороны . Чтобы этому противодействовать, плоскости вращения колес сводят.(рис.20)
Это просто совпадение, что это число выражает расстояние от Солнца, которое сообщается в миллионах миль? Египетский локоть - это ровно один десятимиллиметровый радиус земли. Великая пирамида выражает отношение 2р между окружностью и радиусом Земли. Круг Квадратная площадь круга составляет 023 фута.
Он также обсуждает сходство между фигурами в Наска, Великой пирамиде и египетскими иероглифическими текстами. Боулз отмечает, что Великая пирамида и Плато Наска будут на экваторе, когда Северный полюс будет расположен на юго-востоке Аляски. Используя координаты и сферическую тригонометрию, книга демонстрирует замечательную связь между тремя моментами - древними местами.
Версия, надо сказать, не лишена изящества, но не выдерживает критики. Хотя бы потому, что предполагает однозначную взаимосвязь между развалом и схождением. Следуя предлагаемой логике, колеса, имеющие отрицательный угол развала, обязательно должны устанавливаться с расхождением, а если угол развала нулевой, то и схождения быть не должно. В действительности это совсем не так.
Конечно, эта связь существует также между Великой пирамидой, платформой Наска и осью «древней линии», независимо от того, где находится Северный полюс. Эта зависимость может использоваться для определения расстояний между тремя точками и плоскостью. В королевской камере диагональ 309 от восточной стены, расстояние от камеры 412, средняя диагональ - 515.
Расстояния между Ольянтайтамбо, Большой пирамидой и Точкой Оси на «Древней линии» выражают одно и то же геометрическое соотношение. 3-4 Расстояние Великой пирамиды от Оллантайтамбо составляет ровно 30% от периферии Земли. Расстояние от Великой Пирамиды до Мачу-Пикчу и Точка Оси на Аляске составляет 25% от земного периметра. Растянув этот равнобедренный треугольник по высоте, мы получим два прямоугольных треугольника со сторонами от 15% до 20% - 25%.
Действительность, как водится, подчиняется более сложным и неоднозначным закономерностям.При качении наклоненного колеса в пятне контакта действительно присутствует боковая сила, которую часто так и называют - тяга развала. Она возникает в результате упругой деформации шины в поперечном направлении и действует в сторону наклона. Чем больше угол наклона колеса, тем больше тяга развала. Именно ее используют водители двухколесной техники - мотоциклов и велосипедов - при прохождении поворотов. Им достаточно наклонить своего скакуна, чтобы заставить его «прописывать» криволинейную траекторию, которую остается лишь корректировать рулевым управлением. Тяга развала играет немаловажную роль и при маневрировании автомобилей, о чем будет сказано далее. Так что вряд ли ее стоит намеренно компенсировать схождением. Да и сам посыл, что из-за положительного угла развала колеса стремятся развернуться наружу, т.е. в сторону расхождения, неверен. Напротив, конструкция подвески управляемых колес в большинстве случаев такова, что при положительном развале его тяга стремится увеличить схождение. Так что «компенсация побочного действия развала» не причем.Известно несколько факторов, обусловливающих необходимость схождения колес.Первый состоит в том, что предварительно выставленным схождением компенсируется влияние продольных сил, действующих на колесо при движении автомобиля. Характер и глубина (а значит, и результат) влияния зависят от многих обстоятельств: ведущее колесо или свободно катящееся, управляемое, или нет, наконец, от кинематики и эластичности подвески. Так, на свободно катящееся колесо автомобиля в продольном направлении воздействует сила сопротивления качению. Она создает изгибающий момент, стремящийся развернуть колесо относительно узлов крепления подвески в направлении расхождения. Если подвеска автомобиля жесткая (например, не разрезная или торсионная балка), то эффект окажется не очень значительным. Тем не менее он обязательно будет, поскольку «абсолютная жесткость» - термин и явление сугубо теоретические. К тому же перемещение колеса определяется не только упругой деформацией элементов подвески, но и компенсацией конструктивных зазоров в их соединениях, колесных подшипниках и т.д.
В случае подвески с большой податливостью (что характерно, например, для рычажных конструкций с эластичными втулками) результат многократно возрастет. Если колесо не только свободно катящееся, но и управляемое, ситуация усложняется. За счет появления у колеса дополнительной степени свободы та же сила сопротивления оказывает двоякое воздействие. Момент, изгибающий переднюю подвеску, дополняется моментом, стремящимся развернуть колесо вокруг оси поворота. Разворачивающий момент, величина которого зависит от расположения оси поворота, воздействует на детали механизма рулевого управления и вследствие их податливости также вносит свою весомую лепту в изменение схождения колеса в движении. В зависимости от плеча обкатки вклад разворачивающего момента может быть со знаком «плюс» или «минус». То есть он может либо усиливать расхождение колес, либо противодействовать этому. Если не принять все это во внимание и установить изначально колеса с нулевым схождением, в движении они займут расходящееся положение. Из этого «вытекут» последствия, характерные для случаев нарушения регулировки схождения: повышенный расход топлива, пилообразный износ протектора и проблемы с управляемостью, о чем будет сказано далее.
Сила сопротивления движению зависит от скорости автомобиля. Поэтому идеальным решением стало бы переменное схождение, обеспечивающее столь же идеальное положение колес на любых скоростях. Поскольку сделать это сложно, колесо предварительно «сводят» так, чтобы достичь минимального износа шин в режиме крейсерской скорости. Колесо, расположенное на ведущей оси, большую часть времени подвергается действию силы тяги. Она превышает силы сопротивления движению, поэтому равнодействующая сил будет направлена по ходу движения. Применив ту же логику, получим, что в этом случае колеса в статике нужно установить с расхождением. Аналогичный вывод можно сделать и в отношении управляемых ведущих колес.
Лучший критерий истины - практика. Если, памятуя об этом, посмотреть регулировочные данные для современных автомобилей, можно испытать разочарование, не обнаружив большой разницы в схождении управляемых колес задне- и переднеприводных моделей. В большинстве случаев и у тех, и у других этот параметр будет положительным. Разве что среди переднеприводных автомобилей чаще встречаются случаи «нейтральной» регулировки схождения. Причина не в том, что описанная выше логика не верна. Просто при выборе величины схождения наряду с компенсацией продольных сил учитывают и другие соображения, которые вносят поправки в конечный результат. Одно из наиболее важных - обеспечение оптимальной управляемости автомобиля. С ростом скоростей движения и динамичности автотехники этот фактор приобретает все большее значение.
Управляемость - понятие многогранное, поэтому стоит уточнить, что схождение колес наиболее ощутимо влияет на стабилизацию прямолинейной траектории автомобиля и его поведение на входе в поворот. Наглядно это влияние можно пояснить на примере управляемых колес.
Допустим, в движении по прямой на одно из них оказывается случайное возмущающее воздействие от неровности дороги. Возросшая сила сопротивления поворачивает колесо в направлении уменьшения схождения. Через рулевой механизм воздействие передается на второе колесо, схождение которого, наоборот, увеличивается. Если изначально колеса имеют положительное схождение, сила сопротивления на первом уменьшается, а на втором - растет, что противодействует возмущению. Когда схождение равно нулю, противодействующий эффект отсутствует, а когда оно отрицательное - появляется дестабилизирующий момент, способствующий развитию возмущения. Автомобиль с такой регулировкой схождения будет рыскать по дороге, его придется постоянно ловить подруливанием, что недопустимо для обычного дорожного автомобиля.
У этой «монеты» есть и обратная, позитивная сторона - отрицательное схождение позволяет добиться от рулевого управления наиболее быстрой реакции. Малейшее действие водителя тут же провоцирует резкое изменение траектории - автомобиль охотно маневрирует, легко «соглашается» на поворот. Такая регулировка схождения сплошь и рядом используется в автоспорте.
Те, кто смотрят телепередачи о чемпионате WRC, наверняка обращали внимание на то, как активно приходится работать рулем тому же Лёбу или Гронхольму даже на относительно прямых участках трассы. Аналогичное воздействие на поведение автомобиля оказывает схождение колес задней оси - уменьшение схождения вплоть до небольшого расхождения увеличивает «подвижность» оси. Этот эффект часто используют для компенсации недостаточной поворачиваемости автомобилей, например, переднеприводных моделей с перегруженной передней осью.
Таким образом, статические параметры схождения, которые приведены в регулировочных данных, представляют собой некую суперпозицию, а иногда и компромисс между желанием сэкономить на топливе и резине и добиться оптимальных для автомобиля характеристик управляемости. Причем заметно, что в последние годы превалирует последнее.
Развал – параметр, который отвечает за ориентацию колеса относительно дорожного покрытия . Мы помним, что в идеале они должны быть перпендикулярны друг другу, т.е. развала быть не должно. Тем не менее у большинства дорожных автомобилей он есть. В чем фишка?
Справка.
Развал (camber) отражает ориентацию колеса относительно вертикали и определяется как угол между вертикалью и плоскостью вращения колеса. Если колесо на самом деле «развалено», т.е. его вершина наклонена наружу, развал считается положительным. Если колесо наклонено к кузову – развал отрицательный.
До недавнего времени наблюдалась тенденция именно разваливать колеса, т.е. придавать углам развала положительные значения. Многим, наверняка, памятны учебники по теории автомобиля, в которых установка колес с развалом объяснялась стремлением перераспределить нагрузку между внешним и внутренним ступичными подшипниками . Мол, при положительном угле развала большая ее часть приходится на внутренний подшипник , который проще выполнить более массивным и прочным. В результате выигрывает долговечность подшипникового узла. Тезис не очень убедительный, хотя бы потому, что он если и справедлив, то только для идеальной ситуации – прямолинейного движения автомобиля по абсолютно ровной дороге. Известно, что при маневрах и проезде неровностей, даже самых незначительных, подшипниковый узел испытывает динамические нагрузки , которые на порядок превышают статические силы. Да и распределяются они не совсем так, как «диктует» положительный развал колес.
Иногда пытаются толковать положительный развал как дополнительную меру, направленную на уменьшение плеча обкатки. Когда у нас дойдет дело до знакомства с этим важным параметром подвески управляемых колес, станет понятно, что такой способ воздействия далеко не самый удачный. Он сопряжен с одновременным изменением ширины колеи и включенного угла наклона оси поворота колеса, что чревато нежелательными последствиями. Существуют более прямые и менее болезненные варианты изменения плеча обкатки. К тому же его минимизация не всегда является целью разработчиков подвески.
Более убедительно выглядит версия, что положительным развалом компенсируется смещение колес, происходящее при увеличении нагрузки на ось (в результате роста загрузки автомобиля или динамического перераспределения его массы при ускорении и торможении). Эласто-кинематические свойства большинства типов современных подвесок таковы, что с увеличением веса, приходящегося на колесо, угол развала уменьшается. Чтобы при этом обеспечить максимальное сцепление колес с дорогой, логично их предварительно чуть «развалить». Тем более что в умеренных дозах развал несильно отражается на сопротивлении качению и износе шин.
Достоверно известно, что на выбор величины развала также оказывает влияние общепринятое профилирование дорожного полотна. В цивилизованных странах, где существуют дороги, а не направления, их поперечное сечение имеет выпуклый профиль. Чтобы в этом случае колесо оставалось перпендикулярным к опорной поверхности, ему нужно придать небольшой положительный угол развала.
Просматривая спецификации на УУК, можно заметить, что в последние годы превалирует противоположная «развальная тенденция». Колеса большинства серийных автомобилей в статике устанавливаются с отрицательным развалом. Дело в том, что, как уже упоминалось, на первый план выходит задача обеспечения их наилучшей устойчивости и управляемости. Развал – это параметр, который оказывает определяющее влияние на так называемую боковую реакцию колес. Именно она противодействует центробежным силам , действующим на автомобиль в повороте, и способствует его удержанию на криволинейной траектории. Из общих соображений следует, что сцепление колеса с дорогой (боковая реакция) будет максимальным при наибольшей площади пятна контакта, т.е. при вертикальном положении колеса. На самом деле у колеса стандартной конструкции она достигает пика при небольших отрицательных углах наклона, что обусловлено вкладом упоминавшейся тяги развала. Значит, чтобы сделать колеса автомобиля предельно цепкими в повороте, нужно их не разваливать, а, наоборот, «сваливать». Этот эффект известен давно и столь же давно используется в автоспорте. Если предметно взглянуть на «формульный» болид, хорошо заметно, что его передние колеса установлены с большим отрицательным развалом.
Что хорошо для гоночных болидов , не совсем подходит для серийных автомобилей. Чрезмерный отрицательный развал вызывает повышенный износ внутренней зоны протектора. С увеличением наклона колеса сокращается площадь пятна контакта. Сцепление колес при прямолинейном движении уменьшается, в свою очередь снижается эффективность ускорения и торможения. На способность автомобиля удерживать прямолинейную траекторию избыточный отрицательный развал влияет так же, как и недостаточное схождение, автомобиль становится излишне нервозным. Виновна в этом все та же тяга развала. В идеальной ситуации вызванные развалом боковые силы действуют на оба колеса оси и уравновешивают друг друга. Но стоит одному из колес потерять сцепление с дорогой, как тяга развала другого оказывается некомпенсированной и заставляет автомобиль отклониться от прямолинейной траектории. Кстати, если припомнить, что величина тяги зависит от наклона колеса, нетрудно объяснить боковой увод автомобиля при неодинаковых углах развала правого и левого колес. Одним словом, при выборе величины развала также приходится искать «золотую середину».
Чтобы обеспечить автомобилю хорошую устойчивость, недостаточно в статике сделать углы развала отрицательными. Конструкторы подвески должны добиться, чтобы колеса сохраняли оптимальную (или близкую к ней) ориентацию на всех режимах движения. Выполнить это непросто, поскольку при маневрах любые изменения положения кузова, сопровождающиеся смещением элементов подвески (клевки, боковые крены и т.д.), приводят к существенному изменению развала колес. Как ни странно, эта задачка решается проще на спортивных автомобилях с их «зубодробительными» подвесками, отличающимися высокой угловой жесткостью и короткими ходами. Здесь статические величины развала (и схождения) меньше всего отличаются от того, как они выглядят в динамике.
Чем больше диапазон ходов подвески, тем больше изменение развала в движении. Поэтому тяжелее всего приходится разработчикам обычных дорожных автомобилей с максимально эластичными (для наилучшего комфорта) подвесками. Им приходится поломать голову над тем, как «совместить несовместное» – комфорт и устойчивость. Обычно компромисс удается найти, «поколдовав» над кинематикой подвески.
Существуют решения, позволяющие свести к минимуму изменение углов развала и придать этим изменениям желательный «тренд». Например, желательно, чтобы в повороте наиболее нагруженное внешнее колесо оставалось бы в том самом оптимальном положении – с небольшим отрицательным развалом. Для этого при крене кузова колесо должно еще больше «заваливаться» на него, что достигают оптимизацией геометрии направляющих элементов подвески. Помимо этого, стараются уменьшить сами крены кузова, применяя стабилизаторы поперечной устойчивости.
Справедливости ради стоит сказать, что эластичность подвески не всегда враг устойчивости и управляемости. В «хороших руках » эластичность, напротив, способствует им. Например, при умелом использовании эффекта «самоподруливания» колес задней оси. Возвращаясь к теме разговора, можно резюмировать, что углы развала, которые указываются в спецификациях для легковых автомобилей , будут значительно отличаться от того, какими они окажутся в повороте.
Завершая «разборку» со схождением и развалом, можно упомянуть еще об одном интересном аспекте, имеющем практическое значение. В регулировочных данных на УУК приводятся не абсолютные значения углов развала и схождения, а диапазоны допустимых величин. Допуски на схождение жестче и обычно не превышают ±10", на развал – в несколько раз более свободные (в среднем ±30"). Это значит, что мастер, выполняющий регулировку УУК, может настроить подвеску, не выходя за пределы заводских спецификаций. Казалось бы, несколько десятков угловых минут – ерунда. Вогнал параметры в «зеленый коридор» – и порядок. Но давайте посмотрим, каков может быть результат. К примеру, в спецификациях для BMW 5-й серии в кузове Е39 указываются: схождение 0°5"±10", развал –0°13"±30". Это значит, что, оставаясь в «зеленом коридоре», схождение может принять значение от –0°5" до 5", а развал от –43" до 7". То есть и схождение, и развал могут быть отрицательными, нейтральными или положительными. Имея представление о влиянии схождения и развала на поведение автомобиля, можно намеренно «подшаманить» эти параметры так, чтобы получить желаемый результат. Эффект не окажется разительным, но он обязательно будет.
Рассмотренные нами развал и схождение – параметры, которые определяются для всех четырех колес автомобиля. Далее речь пойдет об угловых характеристиках, которые имеют отношение только к управляемым колесам и определяют пространственную ориентацию оси их поворота.
Известно, что положение оси поворота управляемого колеса автомобиля определяется двумя углами: продольным и поперечным. А почему бы не сделать ось поворота строго вертикальной? В отличие от случаев с развалом и схождением ответ на этот вопрос более однозначный. Здесь практически единодушны, по крайней мере в отношении продольного угла наклона – кастера.
Справедливо отмечают, что главная функция кастера – скоростная (или динамическая) стабилизация управляемых колес автомобиля. Стабилизацией в данном случае называют способность управляемых колес сопротивляться отклонению от нейтрального (соответствующего прямолинейному движению) положения и автоматически возвращаться к нему после прекращения действия внешних сил, вызвавших отклонение. На движущееся автомобильное колесо постоянно действуют возмущающие силы, стремящиеся вывести его из нейтрального положения. Они могут быть следствием проезда неровностей дороги, неуравновешенности колес и т.д. Поскольку величина и направление возмущений постоянно меняются, их воздействие носит случайный колебательный характер. Не будь механизма стабилизации, парировать колебания пришлось бы водителю, что превратило бы управление автомобилем в мучение и наверняка увеличило износ шин. При грамотно выполненной стабилизации автомобиль устойчиво движется по прямой с минимальным вмешательством водителя и даже с отпущенным рулевым колесом.
Отклонение управляемых колес может быть вызвано намеренными действиями водителя, связанными с изменением направления движения. В этом случае стабилизирующий эффект содействует водителю на выходе из поворота, автоматически возвращая колеса в нейтральное положение. А вот на входе в поворот и в его апексе «драйверу», напротив, приходится преодолевать «сопротивление» колес, прикладывая к рулевому колесу определенное усилие. Возникающая на рулевом колесе реактивная сила создает то, что называют чувством руля или информативностью рулевого управления и чему уделяют много внимания и разработчики автомобилей, и автомобильные журналисты.
Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом , и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы, или вы совсем нетерпеливы, – то вот он, :
Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом.
Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость
Тригонометрия
у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций, столько формул… А оно ведь, как, – незаладилось вначале, и… пошло-поехало… сплошное непонимание…
Очень важно не махать рукой на значения тригонометрических функций , – мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.
Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул, давайте избавляться от этой привычки!
Нас выручит ! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове. Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге – ВСЕ!
К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул , чему равен синус, скажем, 300 градусов, или -45.
Никак?.. можно, конечно, подключить формулы приведения … А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!
А при решении тригонометрических уравнений и неравенств без тригонометрического круга – вообще никуда.
Знакомство с тригонометрическим кругом
Давайте по порядку.
Сначала выпишем вот такой ряд чисел:
А теперь такой:
И, наконец, такой:
Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит , на втором месте стоит , а на последнем – . То есть нас будет больше интересовать цепочка .
Но как красиво она получилась! В случае чего – восстановим эту «лесенку-чудесенку».
И зачем оно нам?
Эта цепочка – и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.
Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).
От луча «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы .
Получаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.
Это почему же, спросите вы?
Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип , который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.
Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем . А мы знаем, что против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть 1).
Значит, АВ= (а следовательно, и ОМ=). А по теореме Пифагора
Надеюсь, уже что-то становится понятно?
Так вот точка В и будет соответствовать значению , а точка М – значению
Аналогично с остальными значениями первой четверти.
Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов , а ось (oy) – осью синусов . позже.
Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.
Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ , без которого никуда в тригонометрии.
А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в .
Малый угол атаки — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом Синонимы малый угол атаки EN negative incidencelow incidence …
отрицательный угол резания - — Тематики нефтегазовая промышленность EN negative cutting anglenegative cutting anglenegative rake … Справочник технического переводчика
отрицательный угол скоса верхней поверхности щетки - [ГОСТ 21888 82 (МЭК 276 68, МЭК 560 77)] Тематики машины электрические вращающиеся в целом … Справочник технического переводчика
угол установки крыла Энциклопедия «Авиация»
угол установки крыла - Угол установки крыла. угол установки крыла угол φ0 между центральной хордой крыла и базовой осью самолёта (см. рис.). В зависимости от аэродинамической компоновки самолёта этот угол может быть как положительным, так и отрицательным. Обычно … Энциклопедия «Авиация»
Угол установки крыла - угол (φ)0 между центральной хордой крыла и базовой осью самолёта. В зависимости от аэродинамической компоновки самолёта этот угол может быть как положительным, так и отрицательным. Обычно он находится в пределах от ―2(°) до +3(°). Угол (φ)0… … Энциклопедия техники
УГОЛ СНИЖЕНИЯ - (Depressed angle) угол, образованный линией возвышения (см.) с горизонтом, когда первая проходит ниже горизонта, т. е. отрицательный угол возвышения. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза… … Морской словарь
УГОЛ ОПТИЧЕСКИХ ОСЕЙ - острый угол между опт. осями в двухосных к лах. У. о. о. называют положительным, когда острой биссектрисой является Ng и отрицательным, когда острой биссектрисой является Np (см. Кристалл оптически двухосный). Истинный У. о. о. обозначается… … Геологическая энциклопедия
Кастор (угол) - У этого термина существуют и другие значения, см. Кастор. θ кастор, красная линия ось поворота колеса. На рисунке кастор положительный (угол отсчитывается по часовой стрелке, перед автомобиля находится слева) … Википедия
Кастор (Угол наклона оси поворота) - θ кастор, красная линия ось поворота колеса. На рисунке кастор положительный (угол отсчитывается по часовой стрелке, перед автомобиля находится слева) Кастор (англ. caster) угол продольного наклона оси поворота колеса автомобиля. Кастор… … Википедия
передний угол - 3.2.9 передний угол: Угол между передней поверхностью и основной плоскостью (см. рисунок 5). 1 отрицательный передний угол; 2 положительный передний угол Рисунок 5 Передние углы
В прошлом уроке мы с вами успешно освоили (или повторили – кому как) ключевые понятия всей тригонометрии. Это тригонометрический круг , угол на круге , синус и косинус этого угла , а также освоили знаки тригонометрических функций по четвертям . Освоили подробно. На пальцах, можно сказать.
Но этого пока мало. Для успешного практического применения всех этих простых понятий нам необходим ещё один полезный навык. А именно – правильная работа с углами в тригонометрии. Без этого умения в тригонометрии – никак. Даже в самых примитивных примерах. Почему? Да потому, что угол – ключевая действующая фигура во всей тригонометрии! Нет, не тригонометрические функции, не синус с косинусом, не тангенс с котангенсом а именно сам угол . Нет угла – нету и тригонометрических функций, да…
Как правильно работать с углами на круге? Для этого нам надо железно усвоить два пункта.
1) Как отсчитываются углы на круге?
2) В чём они считаются (измеряются)?
Ответ на первый вопрос – и есть тема сегодняшнего урока. С первым вопросом мы детально разберёмся прямо здесь и сейчас. Ответ на второй вопрос здесь не дам. Ибо достаточно развёрнутый он. Как и сам второй вопрос очень скользкий, да.) Вдаваться в подробности пока не буду. Это – тема следующего отдельного урока.
Приступим?
Как отсчитываются углы на круге? Положительные и отрицательные углы.
У прочитавших название параграфа, возможно, уже волосы встали дыбом. Как так?! Отрицательные углы? Разве такое вообще возможно?
К отрицательным числам мы с вами уже попривыкли. На числовой оси их изображать умеем: справа от нуля положительные, слева от нуля отрицательные. Да и на градусник за окном поглядываем периодически. Особенно зимой, в мороз.) И денежки на телефоне в "минус" (т.е. долг ) иногда уходят. Это всё знакомо.
А что же с углами? Оказывается, отрицательные углы в математике тоже бывают! Всё зависит от того, как отсчитывать этот самый угол… нет, не на числовой прямой, а на числовой окружности! То бишь, на круге. Круг – вот он, аналог числовой прямой в тригонометрии!
Итак, как же отсчитываются углы на круге? Ничего не поделать, придётся нам для начала этот самый круг нарисовать.
Я нарисую вот такую красивую картинку:
Она очень похожа на картинки из прошлого урока. Есть оси, есть окружность, есть угол. Но есть и новая информация.
Также я добавил циферки 0°, 90°, 180°, 270° и 360° на осях. Вот это уже поинтереснее.) Что это за циферки? Правильно! Это значения углов, отсчитанные от нашей неподвижной стороны, которые попадают на координатные оси. Вспоминаем, что неподвижная сторона угла у нас всегда крепко-накрепко привязана к положительной полуоси ОХ. И любой угол в тригонометрии отсчитывается именно от этой полуоси. Это базовое начало отсчёта углов надо держать в голове железно. А оси – они же под прямым углом пересекаются, верно? Вот и прибавляем по 90° в каждой четверти.
И ещё добавлена красная стрелочка. С плюсом. Красная – это специально, чтобы в глаза бросалась. И в память хорошенько врезалась. Ибо это надо запомнить надёжно.) Что же означает эта стрелочка?
Так вот оказывается, если наш угол мы будем крутить по стрелочке с плюсом (против часовой стрелки, по ходу нумерации четвертей), то угол будет считаться положительным! В качестве примера на рисунке показан угол +45°. Кстати, обратите внимание, что осевые углы 0°, 90°, 180°, 270° и 360° также отмотаны именно в плюс! По красной стрелочке.
А теперь посмотрим на другую картинку:
Здесь почти всё то же самое. Только углы на осях пронумерованы в обратную сторону. По часовой стрелке. И имеют знак "минус".) Ещё нарисована синяя стрелочка. Также с минусом. Эта стрелочка – направление отрицательного отсчёта углов на круге. Она нам показывает, что, если мы будем откладывать наш угол по ходу часовой стрелки , то угол будет считаться отрицательным. Для примера я показал угол -45°.
Кстати, прошу заметить, что нумерация четвертей никогда не меняется! Неважно, в плюс или в минус мы мотаем углы. Всегда строго против часовой стрелки.)
Запоминаем:
1. Начало отсчёта углов – от положительной полуоси ОХ. По часам – "минус", против часов – "плюс".
2. Нумерация четвертей всегда против часовой стрелки вне зависимости от направления исчисления углов.
Кстати говоря, подписывать углы на осях 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, каждый раз рисуя круг – вовсе не обязаловка. Это чисто для понимания сути сделано. Но эти циферки обязательно должны присутствовать в вашей голове при решении любой задачи по тригонометрии. Почему? Да потому, что эти элементарные знания дают ответы на очень многие другие вопросы во всей тригонометрии! Самый главный вопрос – в какую четверть попадает интересующий нас угол? Хотите верьте, хотите нет, но правильный ответ на этот вопрос решает львиную долю всех остальных проблем с тригонометрией. Этим важным занятием (распределением углов по четвертям) мы займёмся в этом же уроке, но чуть позже.
Величины углов, лежащих на осях координат (0°, 90°, 180°, 270° и 360°), надо запомнить! Запомнить накрепко, до автоматизма. Причём как в плюс, так и в минус.
А вот с этого момента начинаются первые сюрпризы. И вместе с ними и каверзные вопросы в мой адрес, да...) А что будет, если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным? Выходит, что одну и ту же точку на круге можно обозначить как положительным углом, так и отрицательным???
Совершенно верно! Так и есть.) Например, положительный угол +270° занимает на круге то же самое положение , что и отрицательный угол -90°. Или, например, положительный угол +45° на круге займёт то же самое положение , что и отрицательный угол -315°.
Смотрим на очередной рисунок и всё видим:
Точно так же положительный угол +150° попадёт туда же, куда и отрицательный угол -210°, положительный угол +230° – туда же, куда и отрицательный угол -130°. И так далее…
И что теперь делать? Как именно считать углы, если можно и так и сяк? Как правильно?
Ответ: по-всякому правильно! Ни одно из двух направлений отсчёта углов математика не запрещает. А выбор конкретного направления зависит исключительно от задания. Если в задании ничего не сказано прямым текстом про знак угла (типа "определите наибольший отрицательный угол" и т.п.), то работаем с наиболее удобными нам углами.
Конечно, например, в таких крутых темах, как тригонометрические уравнения и неравенства направление исчисления углов может колоссально влиять на ответ. И в соответствующих темах мы эти подводные камни рассмотрим.
Запоминаем:
Любую точку на круге можно обозначить как положительным, так и отрицательным углом. Любым! Каким хотим.
А теперь призадумаемся вот над чем. Мы выяснили, что угол 45° в точности совпадает с углом -315°? Как же я узнал про эти самые 315 ° ? Не догадываетесь? Да! Через полный оборот.) В 360°. У нас есть угол 45°. Сколько не хватает до полного оборота? Отнимаем 45 ° от 360 ° – вот и получаем 315 ° . Мотаем в отрицательную сторону – и получаем угол -315°. Всё равно непонятно? Тогда смотрим на картинку выше ещё раз.
И так надо поступать всегда при переводе положительных углов в отрицательные (и наоборот) – рисуем круг, отмечаем примерно заданный угол, считаем, сколько градусов не хватает до полного оборота, и мотаем получившуюся разность в противоположную сторону. И всё.)
Чем ещё интересны углы, занимающие на круге одно и то же положение, как вы думаете? А тем, что у таких углов совершенно одинаковые синус, косинус, тангенс и котангенс! Всегда!
Например:
Sin45° = sin(-315°)
Cos120° = cos(-240°)
Tg249° = tg(-111°)
Ctg333° = ctg(-27°)
А вот это уже крайне важно! Зачем? Да всё за тем же!) Для упрощения выражений. Ибо упрощение выражений – ключевая процедура успешного решения любых заданий по математике. И по тригонометрии в том числе.
Итак, с общим правилом отсчёта углов на круге разобрались. Ну а коли мы тут заикнулись про полные обороты, про четверти, то пора бы уже покрутить и порисовать эти самые углы. Порисуем?)
Начнём пока с положительных углов. Они попроще в рисовании будут.
Рисуем углы в пределах одного оборота (между 0° и 360°).
Нарисуем, например, угол 60°. Тут всё просто, никаких заморочек. Рисуем координатные оси, круг. Можно прямо от руки, безо всякого циркуля и линейки. Рисуем схематично : у нас не черчение с вами. Никаких ГОСТов соблюдать не надо, не накажут.)
Можно (для себя) отметить значения углов на осях и указать стрелочку в направлении против часов. Ведь мы же в плюс откладывать собираемся?) Можно этого и не делать, но в голове держать всяко надо.
И теперь проводим вторую (подвижную) сторону угла. В какой четверти? В первой, разумеется! Ибо 60 градусов – это строго между 0° и 90°. Вот и рисуем в первой четверти. Под углом примерно 60 градусов к неподвижной стороне. Как отсчитать примерно 60 градусов без транспортира? Легко! 60° – это две трети от прямого угла! Делим мысленно первую чертвертинку круга на три части, забираем себе две трети. И рисуем... Сколько у нас там по факту получится (если приложить транспортир и померить) – 55 градусов или же 64 – неважно! Важно, что всё равно где-то около 60° .
Получаем картинку:
Вот и всё. И инструментов не понадобилось. Развиваем глазомер! В задачах по геометрии пригодится.) Этот неказистый рисунок бывает незаменим, когда надо нацарапать круг и угол на скорую руку, не особо задумываясь о красоте. Но при этом нацарапать правильно , без ошибок, со всей необходимой информацией. Например, как вспомогательное средство при решении тригонометрических уравнений и неравенств.
Нарисуем теперь угол, например, 265°. Прикидываем, где он может располагаться? Ну, ясное дело, что не в первой четверти и даже не во второй: они на 90 и на 180 градусов оканчиваются. Можно сообразить, что 265° - это 180° плюс ещё 85°. То есть, к отрицательной полуоси ОХ (там, где 180°) надо добавить примерно 85°. Или, что ещё проще, догадаться, что 265° не дотягивает до отрицательной полуоси OY (там, где 270°) каких-то несчастных 5°. Одним словом, в третьей четверти будет этот угол. Очень близко к отрицательной полуоси OY, к 270 градусам, но всё-таки в третьей!
Рисуем:
Повторюсь, абсолютная точность здесь не требуется. Пускай в реальности этот угол получился, скажем 263 градуса. Но на самый главный вопрос (какая четверть?) мы ответили безошибочно. Почему этот вопрос самый главный? Да потому, что любая работа с углом в тригонометрии (неважно, будем мы рисовать этот угол или не будем) начинается с ответа именно на этот вопрос! Всегда. Если этот вопрос проигнорировать или пробовать на него ответить мысленно, то ошибки почти неизбежны, да… Оно вам надо?
Запоминаем:
Любая работа с углом (в том числе и рисование этого самого угла на круге) всегда начинается с определения четверти, в которую попадает этот угол.
Теперь, я надеюсь, вы уже безошибочно изобразите углы, например, 182°, 88°, 280°. В правильных четвертях. В третьей, первой и четвёртой, если что…)
Четвёртая четверть заканчивается углом 360°. Это один полный оборот. Ясен перец, что этот угол занимает на круге то же самое положение, что и 0° (т.е. начало отсчёта). Но углы на этом не заканчиваются, да…
Что делать с углами, большими 360°?
"А такие разве бывают?" – спросите вы. Бывают, ещё как! Бывает, например, угол 444°. А бывает, скажем, угол 1000°. Всякие углы бывают.) Просто визуально такие экзотические углы воспринимаются чуть сложнее, чем привычные нам углы в пределах одного оборота. Но рисовать и просчитывать такие углы тоже надо уметь, да.
Для правильного рисования таких углов на круге необходимо всё то же самое – выяснить, в какую четверть попадает интересующий нас угол. Здесь умение безошибочно определять четверть куда более важно, чем для углов от 0° до 360°! Сама процедура определения четверти усложняется всего одним шагом. Каким, скоро увидите.
Итак, например, нам надо выяснить, в какую четверть попадает угол 444°. Начинаем крутить. Куда? В плюс, разумеется! Угол-то нам дали положительный! +444°. Крутим, крутим… Крутанули на один оборот – дошли до 360°.
Сколько там осталось до 444°? Считаем оставшийся хвостик:
444°-360° = 84°.
Итак, 444° - это один полный оборот (360°) плюс ещё 84°. Очевидно, это первая четверть. Итак, угол 444° попадает в первую четверть. Полдела сделано.
Осталось теперь изобразить этот угол. Как? Очень просто! Делаем один полный оборот по красной (плюсовой) стрелке и добавляем ещё 84°.
Вот так:
Здесь я уж не стал загромождать рисунок – подписывать четверти, рисовать углы на осях. Это всё добро уже давно в голове быть должно.)
Зато я "улиткой" или спиралькой показал, как именно складывается угол 444° из углов 360° и 84°. Пунктирная красная линия – это один полный оборот. К которому дополнительно прикручиваются 84° (сплошная линия). Кстати, обратите внимание, что, если этот самый полный оборот отбросить, то это никак не повлияет на положение нашего угла!
А вот это важно! Положение угла 444° полностью совпадает с положением угла 84°. Никаких чудес нет, так уж получается.)
А можно ли отбросить не один полный оборот, а два или больше?
А почему – нет? Если угол здоровенный, то не просто можно, а даже нужно! Угол-то не изменится! Точнее, сам-то угол по величине, конечно же, изменится. А вот его положение на круге – никак нет!) На то они и полные обороты, что сколько экземпляров ни добавляй, сколько ни убавляй, всё равно будешь в одну и ту же точку попадать. Приятно, правда?
Запоминаем:
Если к углу прибавить (отнять) любое целое число полных оборотов, положение исходного угла на круге НЕ изменится!
Например:
В какую четверть попадает угол 1000°?
Никаких проблем! Считаем, сколько полных оборотов сидит в тысяче градусов. Один оборот - это 360°, ещё один – уже 720°, третий - 1080°… Стоп! Перебор! Значит, в угле 1000° сидит два полных оборота. Выбрасываем их из 1000° и считаем остаток:
1000° - 2 ·360° = 280°
Значит, положение угла 1000° на круге то же самое , что и у угла 280°. С которым работать уже гораздо приятнее.) И куда же попадает этот угол? В четвёртую четверть он попадает: 270° (отрицательная полуось OY) плюс ещё десяточка.
Рисуем:
Здесь я уже не рисовал пунктирной спиралькой два полных оборота: уж больно длинная она получается. Просто нарисовал оставшийся хвостик от нуля , отбросив все лишние обороты. Как будто бы их и не было вовсе.)
И ещё раз. По-хорошему, углы 444° и 84°, а также 1000° и 280° – разные. Но для синуса, косинуса, тангенса и котангенса эти углы – одинаковые!
Как вы видите, для того чтобы работать с углами, большими 360°, надо определить, сколько полных оборотов сидит в заданном большом угле. Это и есть тот самый дополнительный шаг, который обязательно надо предварительно проделывать при работе с такими углами. Ничего сложного, правда?
Отбрасывание полных оборотов, конечно, занятие приятное.) Но на практике при работе с совсем уж кошмарными углами случаются и затруднения.
Например:
В какую четверть попадает угол 31240° ?
И что же, будем много-много раз прибавлять по 360 градусов? Можно, если не горит особо. Но мы же не только складывать можем.) Ещё и делить умеем!
Вот и поделим наш большущий угол на 360 градусов!
Этим действием мы как раз и узнаем, сколько полных оборотов запрятано в наших 31240 градусах. Можно уголком поделить, можно (шепну на ушко:)) на калькуляторе.)
Получим 31240:360 = 86,777777….
То, что число получилось дробным – не страшно. Нас же только целые обороты интересуют! Стало быть, до конца делить и не надо.)
Итак, в нашем лохматом угле сидит аж 86 полных оборотов. Ужас…
В градусах это будет 86·360° = 30960°
Вот так. Именно столько градусов можно безболезненно выкинуть из заданного угла 31240°. Останется:
31240° - 30960° = 280°
Всё! Положение угла 31240° полностью идентифицировано! Там же, где и 280°. Т.е. четвёртая четверть.) Кажется, мы уже изображали этот угол ранее? Когда угол 1000° рисовали?) Там мы тоже на 280 градусов вышли. Совпадение.)
Итак, мораль сей басни такова:
Если нам задан страшный здоровенный угол, то:
1. Определяем, сколько полных оборотов сидит в этом угле. Для этого делим исходный угол на 360 и отбрасываем дробную часть.
2. Считаем, сколько градусов в полученном количестве оборотов. Для этого умножаем число оборотов на 360.
3. Отнимаем эти обороты от исходного угла и работаем с привычным углом в пределах от 0° до 360°.
Как работать с отрицательными углами?
Не вопрос! Точно так же, как и с положительными, только с одним единственным отличием. Каким? Да! Крутить углы надо в обратную сторону , в минус! По ходу часовой стрелки.)
Нарисуем, например, угол -200°. Сначала всё как обычно для положительных углов – оси, круг. Ещё синюю стрелочку с минусом изобразим да углы на осях по-другому подпишем. Их, естественно, также придётся отсчитывать в отрицательном направлении. Это будут всё те же самые углы, шагающие через 90°, но отсчитанные в обратную сторону, в минус: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.
Картинка станет вот такой:
При работе с отрицательными углами часто возникает чувство лёгкого недоумения. Как так?! Получается, что одна и та же ось – это одновременно, скажем, и +90° и -270°? Неее, что-то тут нечисто…
Да всё чисто и прозрачно! Мы ведь же уже в курсе, что любую точку на круге можно обозвать как положительным углом, так и отрицательным! Совершенно любую. В том числе и на какой-то из координатных осей. В нашем случае нам нужно отрицательное исчисление углов. Вот и отщёлкиваем в минус все углы.)
Теперь нарисовать правильно угол -200° никакого труда не составляет. Это -180° и минус ещё 20°. Начинаем мотать от нуля в минус: четвёртую четверть пролетаем, третью тоже мимо, доходим до -180°. Куда мотать оставшуюся двадцатку? Да всё туда же! По часам.) Итого угол -200° попадает во вторую четверть.
Теперь вы понимаете, насколько важно железно помнить углы на осях координат?
Углы на осях координат (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) надо помнить именно для того, чтобы безошибочно определять четверть, куда попадает угол!
А если угол большой, с несколькими полными оборотами? Ничего страшного! Какая разница, куда эти самые полные обороты крутить – в плюс или в минус? Точка-то на круге не изменит своего положения!
Например:
В какую четверть попадает угол -2000°?
Всё то же самое! Для начала считаем, сколько полных оборотов сидит в этом злом угле. Чтобы не косячить в знаках, оставим минус пока в покое и просто поделим 2000 на 360. Получим 5 с хвостиком. Хвостик нас пока не волнует, его чуть позже сосчитаем, когда рисовать угол будем. Считаем пять полных оборотов в градусах:
5·360° = 1800°
Воот. Именно столько лишних градусов можно смело выкинуть из нашего угла без ущерба для здоровья.
Считаем оставшийся хвостик:
2000° – 1800° = 200°
А вот теперь можно и про минус вспомнить.) Куда будем мотать хвостик 200°? В минус, конечно же! Нам же отрицательный угол задан.)
2000° = -1800° - 200°
Вот и рисуем угол -200°, только уже без лишних оборотов. Только что его рисовали, но, так уж и быть, накалякаю ещё разок. От руки.
Ясен перец, что и заданный угол -2000°, так же как и -200°, попадает во вторую четверть.
Итак, мотаем себе на кру… пардон… на ус:
Если задан очень большой отрицательный угол, то первая часть работы с ним (поиск числа полных оборотов и их отбрасывание) та же самая, что и при работе с положительным углом. Знак "минус" на данном этапе решения не играет никакой роли. Учитывается знак лишь в самом конце, при работе с углом, оставшимся после удаления полных оборотов.
Как видите, рисовать отрицательные углы на круге ничуть не сложнее, чем положительные.
Всё то же самое, только в другую сторону! По часам!
А вот теперь - самое интересное! Мы рассмотрели положительные углы, отрицательные углы, большие углы, маленькие - полный ассортимент. Также мы выяснили, что любую точку на круге можно обозвать положительным и отрицательным углом, отбрасывали полные обороты… Нету никаких мыслей? Должно отложиться...
Да! Какую точку на круге ни возьми, ей будет соответствовать бесконечное множество углов! Больших и не очень, положительных и отрицательных - всяких! И разница между этими углами будет составлять целое число полных оборотов. Всегда! Так уж тригонометрический круг устроен, да...) Именно поэтому обратная задача - найти угол по известным синусу/косинусу/тангенсу/котангенсу - решается неоднозначно . И куда сложнее. В отличие от прямой задачи - по заданному углу найти весь набор его тригонометрических функций. И в более серьёзных темах тригонометрии (арки , тригонометрические уравнения и неравенства ) мы с этой фишкой будем сталкиваться постоянно. Привыкаем.)
1. В какую четверть попадает угол -345°?
2. В какую четверть попадает угол 666°?
3. В какую четверть попадает угол 5555°?
4. В какую четверть попадает угол -3700°?
5. Какой знак имеет cos 999°?
6. Какой знак имеет ctg 999°?
И это получилось? Прекрасно! Есть проблемы? Тогда вам .
Ответы:
1. 1
2. 4
3. 2
4. 3
5. "+"
6. "-"
В этот раз ответы выданы по порядку в нарушение традиций. Ибо четвертей всего четыре, а знаков так и вовсе два. Особо не разбежишься…)
В следующем уроке мы с вами поговорим про радианы, про загадочное число "пи", научимся легко и просто переводить радианы в градусы и обратно. И с удивлением обнаружим, что даже этих простых знаний и навыков нам будет уже вполне достаточно для успешного решения многих нетривиальных задачек по тригонометрии!